寶貝、寶貝

我這裡要談的，不是魔戒裡的咕魯，而是我兒子。

兒子現在小學五年級了，晚上睡覺前，還是維持從小培養的習慣 - 洗澡、吹乾頭髮、刷牙、尿尿、牙線、聽爸爸讀故事書、和爸爸抱抱說晚安、和媽媽一起禱告、和媽媽抱抱說晚安。這當中也常常和我們聊聊學校趣事、人生哲理等。

有一次，兒子已經和媽媽抱抱說晚安了，媽媽準備幫兒子蓋上被子，因為天氣開始轉涼，於是媽媽換了件較厚的被子。正準備蓋上時，只見躺在床上的兒子張開手腳亂舞，一邊喊著：「寶貝、寶貝...」媽媽聽了可開心了，難得兒子拼命叫自己寶貝，張開手腳還想要抱抱親親，於是放下被子，給兒子一個熱情的擁抱和親吻。親吻時，只聽兒子輕輕在耳邊說：「媽媽，我是說我要蓋薄被...」

桌上遊戲的喜好

因為在Dominion的策略分析文末，提到筆者的對這個遊戲的喜好主觀意見，可能引起喜歡這個遊戲的讀者心裡不舒服，因此另闢文章說明。

首先聲明，關於桌上遊戲的喜好，我能理解Dominion的確有它吸引人的地方，這裡我並非意在辯解或引起爭論，主要是希望更清楚表達自己的個人喜好，增進彼此交流。

基本上，我們可以說"每個具有主題的桌上遊戲，它的遊戲機制是抽象的反映它的主題"。不過，這是就"有主題"的桌上遊戲說的，有些桌上遊戲本身其實並沒有主題或主題很薄弱或牽強，這包括所謂的"抽象"遊戲，如圍棋、角力棋(或稱大王鮑，英文名Abalone)、跳棋...等；相對的，有些桌上遊戲則有很強的主題性，例如農家樂(Agricola)、啊可喊驚魂(Arkham Horror)、幾乎所有的戰棋(傳統戰棋強調模擬)...等。但是遊戲機制既然是抽象的(畢竟只是"遊戲"，不是"主題"本身，必然是某種程度的"抽象")，就有抽象"程度"，也就是直不直覺、和主題關聯性強弱的分別。

不過，即使是一般有主題的遊戲，有時還是會讓人感覺某部份的遊戲機制和主題搭配起來並不合理，例如：
‧我蓋的建築物，我應該可以決定我要不要讓別人使用啊！為什麼他可以先來佔用(雖然有給我一些好處)，我一定得准許他使用？(Caylus)
‧為什麼上一輪我還是國王，這輪卻是當殺手？下一輪我還可以變成皇后？(Citadels)
‧護城河防民兵我能理解，但也防小偷、間諜和女巫我就不懂了。(Dominion)

這些機制和主題衝突的部份，不時會有玩家提出來，但也不時會有玩家反駁，想出比較"曲折"的解釋，而更可能的是大部分的玩家根本不以為意，或者根本連想都沒想過，這當中有什麼邏輯上的問題。我自己認為這其實和遊戲的好壞無關，卻和玩家的"口味"或"喜好"有關。而一旦牽涉到主觀的口味喜好，我覺得常常是沒有一定的道理，而且它還不是絕對的，只能說我有一定的傾向，但有時會有例外，或者遊戲的其他特點也可能有更大的影響力。總之，遊戲總是要親自玩過後，才根據自己的"感覺"說"好不好玩"，其中的含義其實並非絕對的判斷遊戲的"好壞"。

以我自己來說，在主題和遊戲機制中，我通常對主題較為重視，對於和主題有邏輯衝突或直覺上無關的遊戲機制比較不能接受。所以縱使Dominion的遊戲機制創新，也有深刻的策略變化(特別是加上眾多擴充後)，我其實對於把"擴建王國"建立在買牌和洗牌機制上，無法自然的融入劇情。對於每張王國卡，我在意的只會是它加牌、加行動、加錢等能力，我不會在乎這張牌到底是花園還是實驗室，我買的是我要的卡牌能力，我很難感覺到我是在擴建王國；換句話說，它給我的感覺比較多是在"玩牌"，跟主題之間的關連並不多。

當然，再次重申，這是主觀的感覺，無關乎遊戲好壞，而且必定每個人有不同的感受。即使是目前BGG上排名第一的Agricola(中譯"農家樂"或"阿龜可樂")，今天我去看評分統計，都還有71個人是評給它1分最低分的。如果你也能體會喜不喜歡一款遊戲其實是相當主觀的一件事，你就也會和我一樣對這個結果一點也不驚訝。有此認知後，對於如何看待遊戲評價，以及如何從別人的意見中挑選適合自己的遊戲，也會有所幫助。

[Dominion策略補充]

關於Dominion的策略，有一種新的想法正在發展中，BGG上開始有關於這種策略的文章發表。基本想法就是，大量買既加牌又加行動的牌，因為這種類型的牌不管抽到幾張，都可以全部打出來，如果這種牌多到一個地步，很有可能每一回合都會抽完整堆牌，如此一來牌堆中的每一張牌的利用率會大幅提升。如果是+2行動的話，還可以配些其他不加行動的王國卡，行動串聯也不會中斷。其實從上一篇文章中關於LABORATORY的分析，應該可以想像這種策略的威力，我個人還蠻看好這種策略的發展性。

Dominion(皇輿爭霸，俗稱洗牌王國)的策略定量分析

[前言]

Dominion是一款去年發行的桌上遊戲(本文圖片均連結自Boardgamegeek網站)，這個遊戲發行後很快造成風潮，目前佔領BGG桌上遊戲排名第六名已有一段時間。隨著擴充陸續推出，這遊戲的熱潮應該短時間內不會退燒。

Dominion的內容是由500張卡牌所組成，但很多是重複的牌。至於有哪些牌、功能、玩法等等，因本文著重策略定量分析，假設讀者均已熟悉遊戲玩法，故在此不贅述。若讀者還不熟悉本遊戲，請至BGG或國內相關網站查詢。

本遊戲特別的地方就在於遊戲進行過程中，玩家的牌組會逐漸增加，感覺像是玩集換式卡牌(CCG - Collectable Card Game)組牌對抗的過程，不過這遊戲一邊組牌一邊對抗，遊戲過程牌組逐漸變化，是動態的，並非靜態拿組好的牌互相對抗。

[策略定量分析]

本文的定量分析是基於以下的前提、假設或簡化：
1. 僅討論基本版，但原理應該也適用於擴充版。
2. 大部分的分析基於簡單的情況，不討論複雜的組合。
3. 所有數字未必精確，僅求能夠快速獲得策略的大方向。

首先定量分析的出發點，從分析讓很多新手很納悶的"只買錢"策略開始。這個策略簡單易學，不管王國卡如何變化、基本版或擴充版都適用，而且有一定的效果(尤其對上喜歡隨意亂買、沒有整體策略規劃的玩家時，非常有效)，因此常造成新手心裡頭很納悶 - 如果這遊戲只買錢就能贏，那還有什麼好玩的？

那麼，什麼是"只買錢"策略呢?顧名思義，就是除了買分之外，只買錢。

底下的分析會從遊戲開始一直到將近結束。策略的主要目標是能夠儘早並盡可能多買6分牌(Province)。因為每個人買到的6分牌平均張數是4(兩人或三人遊戲)或3(四人遊戲)，所以通常可以買到4張或更多6分牌時，就是遊戲將要結束的時候。

每一次分析都分成數個階段，每個階段大約是重新洗牌後新的牌堆開始，按照順序由幾個欄位組成(用>符號分隔開) - 回合數(代表該牌堆可供進行多少回合)、牌堆所含的牌的張數以及牌的內容組合、每回合手牌能夠花用的錢的期望值、期望此階段購買的牌和可能有的附加說明。

以下就是"只買錢"策略的分析，先分析起始回合3/4(元)分布：
I. 2回合 > 10張牌(1分(3)，1元(7)) > 3, 4 > 買2元(2)
II. 2回合 > 12張牌(1分(3)，1元(7)，2元(2)) > 2 * ((7+2X2)/12 X 5) = 2 * 4.6(元) > 買2元(2) (保守估計，運氣好可2元、3元各1，以下同理，不另作說明)
III. 3回合 > 14張牌(1分(3)，1元(7)，2元(4)) > 3 * ((11+2X2)/14 X 5) = 3 * 5.36(元) > 買2元(2)+3元(1)
IV. 3回合 > 17張牌(1分(3)，1元(7)，2元(6)，3元(1)) > 3 * ((15+2X2+3)/17 X 5) = 3 * 6.47(元) > 買3元(3)
V. 4回合 > 20張牌(1分(3)，1元(7)，2元(6)，3元(4)) > 4 * ((22+3X3)/20 X 5) = 4 * 7.75(元) > 買3元(2)+6分(2)
VI. 5回合 > 24張牌(1分(3)，6分(2)，1元(7)，2元(6)，3元(6)) > 5 * ((31+3X2)/24 X 5) = 5 * 7.7(元) > 買3分(2)+6分(3)

起始回合2/5(元)分布的分析：
I. 2回合 > 10張牌(1分(3)，1元(7)) > 2, 5 > 買1元(1)+2元(1)
II. 2回合 > 12張牌(1分(3)，1元(8)，2元(1)) > 2 * ((7+1+2)/12 X 5) = 2 * 4.2(元) > 買2元(2)
III. 3回合 > 14張牌(1分(3)，1元(8)，2元(3)) > 3 * ((10+2X2)/14 X 5) = 3 * 5(元) > 買2元(2)+3元(1)
IV. 3回合 > 17張牌(1分(3)，1元(8)，2元(5)，3元(1)) > 3 * ((14+2X2+3)/17 X 5) = 3 * 6.2(元) > 買3元(3)
V. 4回合 > 20張牌(1分(3)，1元(8)，2元(5)，3元(4)) > 4 * ((21+3X3)/20 X 5) = 4 * 7.5(元) > 買3元(3)+6分(1)
VI. 5回合 > 24張牌(1分(3)，6分(1)，1元(8)，2元(5)，3元(7)) > 5 * ((30+3X3)/24 X 5) = 5 * 8.125(元) > 買3分(1)+6分(4)

2/5(元)起手會比3/4(元)來的弱一些，但即使是3/4(元)起手，還是有運氣成分，所以兩者差距應該還在運氣影響的誤差範圍內。

所以，以"只買錢"策略來說，預期遊戲能在20個回合以內結束，含遊戲開始的第一次洗牌，總共洗了6~7次牌，分數期望值約36~39分。

從以上的分析，我們可以觀察到幾個重點：
1. 前兩回合買的牌最多可用5次，第3、4回合買的牌最多可用4次，依此類推。
2. 前4回合，所買的牌至少都要有2元的價值(value，不是花費 cost)，而幾乎從第5回合開始，所買的牌就至少要有3元的價值。這同時也暗示了，若無特殊理由，買1元是不智之舉，因為從第5回合開始，每張牌的期望值應該都要大於1元。
3. 大約從第11回合開始，就有可能買6分了，無法買6分時，還是必須買增加期望值的牌，以補償6分牌所造成期望值降低的影響。
4. 因為以上的結果是以平均值/期望值估計，若是玩家間實力相當，競爭激烈，實際上應該比20個回合更早結束(6分平均每人4張(2或3人遊戲)或3張(4人遊戲))。若能買6分就應當買，除非期望值低於7元而且預期遊戲結束前還會再洗牌，並且新牌堆還會用到1/2以上，才有繼續買3元的價值，否則應放棄買3元而改買3分。因此若玩家間勢均力敵，遊戲應該設定在20回合以內結束，也就是說遊戲大都在第6~7階段結束，後續分析就到第6階段(19回合)為止，因為此時已大勢底定。
5. 由第3、4點可以大略說遊戲分成兩大階段，大約各占遊戲過程一半左右，第1~10回合是衝高手牌期望值的階段，直到能夠買6分。第11~20回合則是買分階段，以買6分為主，買分階段前期仍應注意維持期望值，而買分階段越接近遊戲尾聲時，可視情況買3分甚至1分。
6. 可以買王國卡的時機點大約是：0~4元花費 - 第1~2階段；5元花費 - 第3階段；6元花費 - 第4階段。

以"只買錢"的策略分析為基礎，根據不同的王國卡，我們可以更進一步讓策略最佳化，茲舉例分析如下：

1. SMITHY

先來看在前兩回合就買一張SMITHY的分析：
I. 2回合 > 10張牌(1分(3)，1元(7)) > 3, 4 > 買2元(1)+SMITHY(1)
II. 2回合 > 12張牌(1分(3)，1元(7)，2元(1)，SMITHY(1)) > ((7+2)/11 X 5), ((7+2)/11 X 7) = 4.1, 5.73 > 買 2元(1)+3元(1)
III. 2回合 > 14張牌(1分(3)，1元(7)，2元(2)，3元(1)，SMITHY(1)) > ((9+2+3)/13 X 5), ((9+2+3)/13 X 7) = 5.4, 7.54 > 買2元(1)+3元(1)
IV. 3回合 > 16張牌(1分(3)，1元(7)，2元(3)，3元(2)，SMITHY(1)) > 2 * ((14+2+3)/15 X 5), ((14+2+3)/15 X 7) = 2 * 6.33, 8.87 > 買3元(2)+6分(1)
V. 3回合 > 19張牌(1分(3)，6分(1)，1元(7)，2元(3)，3元(4)，SMITHY(1)) > 2 * ((19+3X2)/18 X 5), ((19+3X2)/18 X 7) = 2 * 6.94, 9.7 > 買3元(1)+6分(2)
VI. 4回合 > 22張牌(1分(3)，6分(3)，1元(7)，2元(3)，3元(5)，SMITHY(1)) > 3 * ((25+3)/21 X 5), ((25+3)/21 X 7) = 3 * 6.67, 9.33 > 買3分(2)+6分(2)

和"只買錢"比，結果好多了 - 在16回合內買了5張6分牌。

再來觀察起始回合2/5(元)分布的分析：
I. 2回合 > 10張牌{1VP(3), 1COIN(7)} > 2, 5 > 買1元(1)+SMITHY(1)
II. 2回合 > 12張牌{1VP(3), 1COIN(8), SMITHY(1)} > ((7+1)/11 X 5), ((7+1)/11 X 7) = 3.6, 5.1 > 買2元(2)
III. 2回合 > 14張牌{1VP(3), 1COIN(8), 2COIN(2), SMITHY(1)} > ((8+2X2)/13 X 5), ((8+2X2)/13 X 7) = 4.6, 6.5 > 買2元(1)+3元(1)
IV. 3回合 > 16張牌{1VP(3), 1COIN(8), 2COIN(3), 3COIN(1), SMITHY(1)} > 2 * ((12+2+3)/15 X 5), ((12+2+3)/15 X 7) = 2 * 5.67, 7.9 > 買3元(2)+6分(1)
V. 3回合 > 19張牌{1VP(3), 6VP(1), 1COIN(8), 2COIN(3), 3COIN(3), SMITHY(1)} > 2 * ((17+3X2)/18 X 5), ((17+3X2)/18 X 7) = 2 * 6.4, 8.94 > 買3元(2)+6分(1)
VI. 4回合 > 22張牌{1VP(3), 6VP(2), 1COIN(8), 2COIN(3), 3COIN(5), SMITHY(1)} > 3 * ((23+3X2)/21 X 5), ((23+3X2)/21 X 7) = 3 * 6.9, 9.67 > 買3分(2)+6分(2)

2/5起始比起3/4起始稍微差些，但和"只買錢"比仍然比較好。

那麼除了第一階段，在後面階段再買一張SMITHY會不會比較好呢？我認為不會，因為沒有出現SMITHY的手牌期望值會降低，而兩張SMITHY出現在同一手牌中的機率即使是18張牌的牌堆仍高達約1/2，此時有一張SMITHY是完全浪費，不能打出來的。

2. MILITIA

MILITIA這張牌很容易分析，就把它當成2元來用就是了，而且還有攻擊效果。但總是不買2元而改買MILITIA好不好呢？當然不好，因為要考慮到，2元不管抽到幾張，都是可以拿來用的，抽到2張MILITIA時卻只能打一張，另外一張只能作廢。所以較建議的是，第一階段買1張，增加攻擊次數；第三階段因為牌多了，可以再買一張，因為牌較多，兩張一起出現的機會較小。從第四階段開始就別再買了，因為那時應該不是買3元就是買分了。

和"只買錢"相比，MILITIA的結果差不多，就看對手被干擾的情形而定，相對結果應該也只算稍好。

3. MOAT

因為買MOAT的花費是2元，所以若是買MOAT的時機最好是起始回合是2/5分布時，分析如下：
I. 2回合 > 10張牌(1分(3)，1元(7)) > 2, 5 > 買2元(1)+MOAT(1)
II. 2回合 > 12張牌(1分(3)，1元(7)，2元(1)，MOAT(1)) > ((7+2)/11 X 5), ((7+2)/11 X 6) = 4.1, 4.9 > 買2元(2)
III. 2回合 > 14張牌(1分(3)，1元(7)，2元(3)，MOAT(1)) > ((9+2X2)/13 X 5), ((9+2X2)/13 X 6) = 5, 6 > 買2元(1)+3元(1)
IV. 3回合 > 16張牌(1分(3)，1元(7)，2元(4)，3元(1)，MOAT(1)) > 2 * ((13+2+3)/15 X 5), ((13+2+3)/15 X 6) = 2 * 6, 7.2 > 買3元(2)+6分(1)
V. 3回合 > 19張牌(1分(3)，6分(1)，1元(7)，2元(4)，3元(3)，MOAT(1)) > 2 * ((18+3X2)/18 X 5), ((18+3X2)/18 X 6) = 2 * 6.67, 8 > 買3元(2)+6分(1)
VI. 4回合 > 22張牌(1分(3)，6分(2)，1元(7)，2元(4)，3元(5)，MOAT(1)) > 3 * ((24+3X2)/21 X 5), ((24+3X2)/21 X 6) = 3 * 7.14, 8.57 > 買3分(2)+6分(2)

和SMITHY相比，MOAT在第四階段能夠買到6分時可能比較慢，但是MOAT多提供了防止手牌被攻擊的能力。如果其他玩家買攻擊牌，而且你的起始回合是2/5分布，買MOAT就是個好選擇，至少會比"只買錢"來得好。

那麼，如果起始回合是3/4分布，買MOAT是好的策略嗎？我覺得買SMITHY會比較好，但是，這還是要看其他因素以及MOAT遇到其他玩家的攻擊牌的機率多少而定，在四人遊戲而且其他玩家都買了攻擊牌時，買MOAT就會是個好的選擇。

4. WITCH

WITCH是花費5元的牌，比較可能是第3或第4階段買，底下是在第三階段買WITCH的分析：
I. 2回合 > 10張牌{1VP(3), 1COIN(7)} > 3, 4 > 買2COIN(2)
II. 2回合 > 12張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(2)} > 2 * ((7+2X2)/12 X 5) = 2 * 4.6 > 買2COIN(2)
III. 3回合 > 14張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(4)} > 3 * ((11+2X2)/14 X 5) = 3 * 5.36 > 買2COIN(2)+WITCH(1)
IV. 3回合 > 17張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(6), WITCH(1)} > 2 * ((15+2X2)/16 X 5) + ((15+2X2)/16 X 6) = 2 * 5.94 + 7.1 > 買2COIN(1)+3COIN(2)
V. 4回合 > 20張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(7), 3COIN(2), WITCH(1)} > 3 * ((19+2+3X2)/19 X 5) + ((19+2+3X2)/19 X 6) = 3 * 7.1 + 8.53 > 買3COIN(2)+6VP(2)
VI. 3回合 > 24張牌{1VP(3), 6VP(2), 1COIN(7), 2COIN(7), 3COIN(4), WITCH(1)} > 2 * ((27+3X2)/23 X 5) + ((27+3X2)/23 X 6) = 2 * 7.2 + 8.6 > 買3VP(1)+6VP(2)

就分析看來，和"只買錢"比較起來，既使考慮攻擊所造成的影響，也並沒有很大的差異。

5. CELLAR

CELLAR的功能不容易分析，我們先不管 +1 Action，因為要配合其他王國卡，並且在同一手牌中才能發揮作用。

先看它可以棄牌(discard)任意張牌，再重抽相同張數牌這個功能。我們假設會被棄的牌是剛開始是分數牌，越到遊戲後期1元也會被棄，因為換到2元或3元的機率越來越高，但若是錢夠買6分或接近8元，也可以減少棄牌重抽的張數，因此它具有調節功能。另外CELLAR也有加速牌堆重洗的作用，也會稍微提高後期手牌的期望值。但是以可用的手牌數來看，CELLAR的最大值是4張牌，比起MOAT(6張牌)和SMITHY(7張牌)的期望值會來得低一些。

我們試著以起始回合2/5分布來分析：
I. 2回合 > 10張牌{1VP(3), 1COIN(7)} > 2, 5 > 買2COIN(1)+CELLAR(1)
II. 2回合 > 12張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(1), CELLAR(1)} > ((7+2)/11 X 5), ((7+2)/8 X 4) = 4.1, 4.5 > 買2COIN(2)
III. 2回合 > 14張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(3), CELLAR(1)} > ((9+2X2)/13 X 5), ((9+2X2)/10 X 4) = 5, 5.2 > 買2COIN(2)
IV. 3回合 > 16張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(5), CELLAR(1)} > 2 * ((13+2X2)/15 X 5), ((13+2X2)/12 X 4) = 2 * 5.67, 5.67 > 買2COIN(1)+3COIN(2)
V. 3回合 > 19張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(6), 3COIN(2), CELLAR(1)} > 2 * ((17+2+3X2)/18 X 5), ((15+2+3X2)/13 X 4) = 2 * 6.94, 7.1 > 買3COIN(2)+6VP(1)
VI. 4回合 > 22張牌{1VP(3), 6VP(1), 1COIN(7), 2COIN(6), 3COIN(4), CELLAR(1)} > 3 * ((25+3X2)/21 X 5), ((25+3X2)/15 X 4) = 3 * 7.4, 8.3 > 買3VP(1)+6VP(2)

從分析看來，如果起始回合是2/5分布的話，買MOAT的結果會比CELLAR來得好。

6. LABORATORY

這是起始回合3/4分布的分析，因為LABORATORY的"+1 ACTION"的功能，讓它不怕買多張後撞在一起的問題：
I. 2回合 > 10張牌{1VP(3), 1COIN(7)} > 3, 4 > 買2COIN(2)
II. 2 turns > 12 cards {1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(2)} > 2 * ((7+2X2)/12 X 5) = 2 * 4.6 > 買2COIN(1)+LABORATORY(1)
III. 2回合 > 14張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(3), LABORATORY(1)} > ((11+2)/13 X 5) + ((11+2)/13 X 6) = 5 + 6 > 買3COIN(1)+LABORATORY(1)
IV. 2回合 > 16 cards {1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(3), 3COIN(1), LABORATORY(2)} > 0.5 * {2 * ((13+3)/14 X 6)} + 0.5 * {((13+3)/14 X 5) + ((13+3)/14 X 7)} = 0.5 * {2 * 6.86} + 0.5 * {5.7 + 8} > 買3COIN(1)+LABORATORY(1)
V. 3回合 > 18張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(3), 3COIN(2), LABORATORY(3)} > 0.14 * {3 * ((16+3)/15 X 6)} + 0.57 * {((16+3)/15 X 5) + ((16+3)/15 X 6) + ((16+3)/15 X 7)} + 0.29 * {2 * ((16+3)/15 X 5) + ((16+3)/15 X 8)} = 0.14 * {3 * 7.6} + 0.57 * {6.33 + 7.6 + 8.87} + 0.29 * {2 * 6.33 + 10.1} > 買LABORATORY(1)+6VP(2)
VI. 3回合 > 21張牌{1VP(3), 6VP(2), 1COIN(7), 2COIN(3), 3COIN(2), LABORATORY(4)} > 0.7 * {(19/17 X 5) + (19/17 X 6) + (19/17 X 8)} + 0.15 * {(19/17 X5) + 2 * (19/17 X 7)} + 0.125 * {2 * (19/17 X 6) + (19/17 X 7)} = 0.7 * {5.6 + 6.7 + 8.9} + 0.15 * {5.6 + 2 * 7.8} + 0.125 * {2 * 6.7 + 7.8} > 買LABORATORY(1)+6VP(2)
VII. 3回合 > 24張牌{1VP(3), 6VP(4), 1COIN(7), 2COIN(3), 3COIN(2), LABORATORY(5)} > 0.7 * {((19/19 X 5) + (19/19 X 7) + (19/19 X 8)} + ~ = 0.7 * {5 + 7 + 8} + ~ > 買3VP(1)+6VP(2)

結果明顯比"只買錢"好很多。
上面分析中，隱藏了計算多張LABORATORY在同一手牌出現的機率，讓讀者看結果時不致混淆。其計算方法有些複雜，但基本上有排列組合觀念就能算出來。

[附註：LABORATORY機率算法提示]
假設：25張牌組成的牌堆中有5張LABORATORY，其餘為分數牌或錢幣。
則此牌堆總共3個回合會抽完，因為3個回合基本上會抽15張牌，加上5張LABORATORY會多抽的10張牌，正好抽完25張牌。
那麼我們舉個例子來算機率：1個回合都沒有LABORATORY，1個回合有兩張LABORATORY，1個回合有三張LABORATORY，這三種回合可以以任意順序出現，而出現多張LABORATORY的回合，開始抽出的5張牌裡面，則至少會含1張LABORATORY，第二張LABORATORY則會出現在最初的5張牌中或是因打出第一張LABORATORY而多抽的2張牌中，依此類推。
想像一疊25牌堆中，由上到下每張牌從1到25編號，所有排列中，5張LABORATORY出現的位置的不同排列有 (25 X 24 X 23 X 22 X 21) 種，這是總共會有的樣本數。
1. 因為有三種不同的回合，其排列方式有6種。
2. 5張LABORATORY取3張的組合方式有 C5取3 = (5 X 4 X 3) / (3 X 2) = 10 種。
3. 3張LABORATORY在同1回合出現的排列方式有 ((5 X 6 X 7) X 6) 種。
4. 2張LABORATORY在同1回合出現的排列方式有 ((5 X 6) X 2) 種。
所以3-2-0(代表LABORATORY張數的分布)的樣本數有 1. X 2. X 3. X 4.，所得除以總樣本數即得其出現的機率。

[結論]

以上提出的是一種對於Dominion策略定量分析的方法，此方法以每次洗牌為一個階段，計算每一階段手牌所能花費價錢的期望值，以能夠買到6分張數的期望值來評定策略的優劣，並隨時和具有一定參考價值的"只買錢"策略做比較，讓讀者能在遊戲中以"只買錢"策略為基礎，迅速評估、變化出新的策略，並獲致比"只買錢"更加優化的結果。

最後，有幾點提醒大家：
1. 期望值畢竟還是機率，只是接近期望值的結果會有較大的機會發生，加上計算過程中所做的假設和簡化，實際個案必定和理論有所出入，宜照實際情形依經驗或重新分析以因應遊戲過程中的變化。
2. 本文提出的例子，或受限計算的複雜程度，或因避免文章冗長，或因敝人才智有限尚未想到，僅限於簡單的組合，很有可能還有較複雜但威力更強的方法在本文未提及，讀者可自行嘗試分析。
3. 何時買，買哪一張，什麼情況下買，王國卡的組成如何，對手買什麼牌...等，都是影響遊戲策略的變數。

[末了的話]

從這些分析中，讓我從geek的角度來看待這個遊戲的策略，而不只從casual gamer的角度玩這個遊戲。但因此也發現，這個遊戲基本的步調相當快速，大部分基本而且有效的策略，從頭到尾可能只有20個回合左右，而這20個回合中可能買的王國卡只有3~5張，即使將來擴充有更多的牌，可以想見其功能愈強反而愈縮短決勝的回合數。因此我覺得，Dominion和傳統CCG相比，缺少玩家彼此攻殺、防禦的過程，也缺乏和背景主題相符的故事和戰鬥過程，而這些是我想要從這遊戲得到的。所以我已經賣掉我的Dominion，也決定不買任何擴充，把錢省下來買FFG(Fantasy Flight Games，我目前最喜歡的桌上遊戲出版社)的幾個LCG系列，對我來說更能滿足我。

當然，Dominion要改變這個狀況並非不可能，但首先必須先拿掉拿錢買分這條路，否則回合數受限於此，總有個20回合左右的上限。只是遊戲節奏一但拖長，又會洗牌洗到沒力，起始回合可能也要配合，改成每個玩家先發一定金額錢幣用來買卡，再開始進行遊戲，如此既減少初期洗牌次數，又可讓遊戲節奏加快。無論如何，我相信將來可以看到這個遊戲持續進化，喜歡它的人也會持續增加。

讀書心得 - 上帝的語言

這是我最近讀完的一本書 - 上帝的語言：

作者是法蘭西斯‧柯林斯(Francis S. Collins)，他是國際「人類基因體研究計畫」的主持人，該計畫於2006年以六年的時間完成人類23對染色體中的31億個DNA的基因定序。

作者從小並沒有特別的信仰，一直到大學畢業都是屬於「不可知論者」，但態度上並非「我不知道」，而是「我不想知道」。在耶魯攻讀物理化學博士時，因為數學、物理學的深入探索，逐漸轉變成「無神論者」。在就讀博士班中途，因選修了生物化學，而對生命科學產生興趣，轉讀北卡大學醫學院，在醫院的實習，因為經歷病人面對生死的衝擊，開始認真思索信仰的問題。注意到人類普世的道德律是作者轉向有神論的起點，書中第一部就敘述這些思想探索、轉變的歷程，至終作者成為信仰聖經所啟示的上帝的基督徒。

但基督徒只是作者的其中一個身份，作者仍然是一個深入研究生物基因的科學家，本書的主題在於佔大部分篇幅的第二部、第三部，討論在理性上，科學與信仰如何合諧共存，特別是上帝的創造和演化論之間如何並行不悖。這本書的寫作對象並非只針對非基督徒作為護教的論述，有很大一部份也在試圖向和他一樣相信上帝的創造的基督徒傳達「演化論也是可信的」。

書中提到許多基因研究對於演化論的支持，讓我有不少收穫，其中最重要的，也是作者傳達的主題 - 相信上帝的創造並不導致必須否定演化論，而相信演化論也不等於否定上帝的創造 - 我欣然接受。但是在科學上演化論是否為真？即使作者提出他所謂的科學證據，我還是有所懷疑。當然我可以接受我們能夠觀察到生物的確有小幅度的演化，但跨越物種的大幅度演化仍然缺乏直接的證據(物種演化的界限還是一個可探討的問題)，只能仰賴非常間接的推論和「信心」，而我自己對演化論的信心顯然不如作者那樣大。

我思想了一下，若是下列幾點在科學上有所突破，會是我開始對跨物種演化論產生信心的時候：
1. 科學家在實驗室成功從無生命的物質生成有生命的物種，該生命具遺傳基因，可複製遺傳給下一代的有生命的物種。
2. 科學家成功觀察到有生命的物種演化成另一物種，至於兩個先後物種間的差異多大還值得探討，差異愈大當然讓我信心愈大，例如兩棲類變哺乳類這顯然就是太明顯的證據了。
3. 即使第二點成立，恐怕要相信有物種可以演化成人類(低等人類就行)還需要更強更多的證據才行。

雖然作者幾次提到，基因的研究可證明演化論的真實性，只是我不覺得他的論點能夠說服我，因為他觀察的東西我認為演化論並不成為唯一必然的解釋，而基因的研究不以演化論為基礎依然可以進行，也能得到相同的成果。

此外，作者基於接受演化論後對於聖經創世記1~3章的解釋，有一點我也覺得不是很能說服我，就是關於始祖亞當、夏娃的解釋，這部份還有待更多的研究資料和思考。

除了書中主題外，附錄中探討幾個生命倫理的問題，也很有啟發性，值得詳細閱讀，例如胎兒何時成為人、複製人等，這些是不論有無信仰，都牽涉到人類社會的共識與秩序制度的建立和維持。

智力測驗1則

印象中第一次考智力測驗是上國中時。當時懵懵懂懂，完全不知道這個考試是做什麼用的，只記得題目好多，時間到了也寫不完，而且和小學的月考、期末考很不一樣的是 - 題目都是圖形，沒有半個字。開學之後，漸漸才曉得，那是用來能力分班的，而且我很幸運，分到當時所謂的"模範班"。

現在兒子比較大了，平時不上安親班，寒假時就自己安排時間。想說他喜歡做數學題(應該是我的遺傳)，就買了幾本數學動腦的書，讓他寒假可以做一做。其中一本主要就是智力測驗的題目。

他遇到想不出來或不懂的就來問我，順便聊聊，這才知道原來他已經考過這種東西了，似乎是小學一、二年級就考了，只是他也說不出當初考的目的是什麼。

其中有一個題目還挺難的，我花了一個多小時才想通 (羞)

(答案在"意見"裡面)