Dominion(皇輿爭霸，俗稱洗牌王國)的策略定量分析

[前言]

Dominion是一款去年發行的桌上遊戲(本文圖片均連結自Boardgamegeek網站)，這個遊戲發行後很快造成風潮，目前佔領BGG桌上遊戲排名第六名已有一段時間。隨著擴充陸續推出，這遊戲的熱潮應該短時間內不會退燒。

Dominion的內容是由500張卡牌所組成，但很多是重複的牌。至於有哪些牌、功能、玩法等等，因本文著重策略定量分析，假設讀者均已熟悉遊戲玩法，故在此不贅述。若讀者還不熟悉本遊戲，請至BGG或國內相關網站查詢。

本遊戲特別的地方就在於遊戲進行過程中，玩家的牌組會逐漸增加，感覺像是玩集換式卡牌(CCG - Collectable Card Game)組牌對抗的過程，不過這遊戲一邊組牌一邊對抗，遊戲過程牌組逐漸變化，是動態的，並非靜態拿組好的牌互相對抗。

[策略定量分析]

本文的定量分析是基於以下的前提、假設或簡化：
1. 僅討論基本版，但原理應該也適用於擴充版。
2. 大部分的分析基於簡單的情況，不討論複雜的組合。
3. 所有數字未必精確，僅求能夠快速獲得策略的大方向。

首先定量分析的出發點，從分析讓很多新手很納悶的"只買錢"策略開始。這個策略簡單易學，不管王國卡如何變化、基本版或擴充版都適用，而且有一定的效果(尤其對上喜歡隨意亂買、沒有整體策略規劃的玩家時，非常有效)，因此常造成新手心裡頭很納悶 - 如果這遊戲只買錢就能贏，那還有什麼好玩的？

那麼，什麼是"只買錢"策略呢?顧名思義，就是除了買分之外，只買錢。

底下的分析會從遊戲開始一直到將近結束。策略的主要目標是能夠儘早並盡可能多買6分牌(Province)。因為每個人買到的6分牌平均張數是4(兩人或三人遊戲)或3(四人遊戲)，所以通常可以買到4張或更多6分牌時，就是遊戲將要結束的時候。

每一次分析都分成數個階段，每個階段大約是重新洗牌後新的牌堆開始，按照順序由幾個欄位組成(用>符號分隔開) - 回合數(代表該牌堆可供進行多少回合)、牌堆所含的牌的張數以及牌的內容組合、每回合手牌能夠花用的錢的期望值、期望此階段購買的牌和可能有的附加說明。

以下就是"只買錢"策略的分析，先分析起始回合3/4(元)分布：
I. 2回合 > 10張牌(1分(3)，1元(7)) > 3, 4 > 買2元(2)
II. 2回合 > 12張牌(1分(3)，1元(7)，2元(2)) > 2 * ((7+2X2)/12 X 5) = 2 * 4.6(元) > 買2元(2) (保守估計，運氣好可2元、3元各1，以下同理，不另作說明)
III. 3回合 > 14張牌(1分(3)，1元(7)，2元(4)) > 3 * ((11+2X2)/14 X 5) = 3 * 5.36(元) > 買2元(2)+3元(1)
IV. 3回合 > 17張牌(1分(3)，1元(7)，2元(6)，3元(1)) > 3 * ((15+2X2+3)/17 X 5) = 3 * 6.47(元) > 買3元(3)
V. 4回合 > 20張牌(1分(3)，1元(7)，2元(6)，3元(4)) > 4 * ((22+3X3)/20 X 5) = 4 * 7.75(元) > 買3元(2)+6分(2)
VI. 5回合 > 24張牌(1分(3)，6分(2)，1元(7)，2元(6)，3元(6)) > 5 * ((31+3X2)/24 X 5) = 5 * 7.7(元) > 買3分(2)+6分(3)

起始回合2/5(元)分布的分析：
I. 2回合 > 10張牌(1分(3)，1元(7)) > 2, 5 > 買1元(1)+2元(1)
II. 2回合 > 12張牌(1分(3)，1元(8)，2元(1)) > 2 * ((7+1+2)/12 X 5) = 2 * 4.2(元) > 買2元(2)
III. 3回合 > 14張牌(1分(3)，1元(8)，2元(3)) > 3 * ((10+2X2)/14 X 5) = 3 * 5(元) > 買2元(2)+3元(1)
IV. 3回合 > 17張牌(1分(3)，1元(8)，2元(5)，3元(1)) > 3 * ((14+2X2+3)/17 X 5) = 3 * 6.2(元) > 買3元(3)
V. 4回合 > 20張牌(1分(3)，1元(8)，2元(5)，3元(4)) > 4 * ((21+3X3)/20 X 5) = 4 * 7.5(元) > 買3元(3)+6分(1)
VI. 5回合 > 24張牌(1分(3)，6分(1)，1元(8)，2元(5)，3元(7)) > 5 * ((30+3X3)/24 X 5) = 5 * 8.125(元) > 買3分(1)+6分(4)

2/5(元)起手會比3/4(元)來的弱一些，但即使是3/4(元)起手，還是有運氣成分，所以兩者差距應該還在運氣影響的誤差範圍內。

所以，以"只買錢"策略來說，預期遊戲能在20個回合以內結束，含遊戲開始的第一次洗牌，總共洗了6~7次牌，分數期望值約36~39分。

從以上的分析，我們可以觀察到幾個重點：
1. 前兩回合買的牌最多可用5次，第3、4回合買的牌最多可用4次，依此類推。
2. 前4回合，所買的牌至少都要有2元的價值(value，不是花費 cost)，而幾乎從第5回合開始，所買的牌就至少要有3元的價值。這同時也暗示了，若無特殊理由，買1元是不智之舉，因為從第5回合開始，每張牌的期望值應該都要大於1元。
3. 大約從第11回合開始，就有可能買6分了，無法買6分時，還是必須買增加期望值的牌，以補償6分牌所造成期望值降低的影響。
4. 因為以上的結果是以平均值/期望值估計，若是玩家間實力相當，競爭激烈，實際上應該比20個回合更早結束(6分平均每人4張(2或3人遊戲)或3張(4人遊戲))。若能買6分就應當買，除非期望值低於7元而且預期遊戲結束前還會再洗牌，並且新牌堆還會用到1/2以上，才有繼續買3元的價值，否則應放棄買3元而改買3分。因此若玩家間勢均力敵，遊戲應該設定在20回合以內結束，也就是說遊戲大都在第6~7階段結束，後續分析就到第6階段(19回合)為止，因為此時已大勢底定。
5. 由第3、4點可以大略說遊戲分成兩大階段，大約各占遊戲過程一半左右，第1~10回合是衝高手牌期望值的階段，直到能夠買6分。第11~20回合則是買分階段，以買6分為主，買分階段前期仍應注意維持期望值，而買分階段越接近遊戲尾聲時，可視情況買3分甚至1分。
6. 可以買王國卡的時機點大約是：0~4元花費 - 第1~2階段；5元花費 - 第3階段；6元花費 - 第4階段。

以"只買錢"的策略分析為基礎，根據不同的王國卡，我們可以更進一步讓策略最佳化，茲舉例分析如下：

1. SMITHY

先來看在前兩回合就買一張SMITHY的分析：
I. 2回合 > 10張牌(1分(3)，1元(7)) > 3, 4 > 買2元(1)+SMITHY(1)
II. 2回合 > 12張牌(1分(3)，1元(7)，2元(1)，SMITHY(1)) > ((7+2)/11 X 5), ((7+2)/11 X 7) = 4.1, 5.73 > 買 2元(1)+3元(1)
III. 2回合 > 14張牌(1分(3)，1元(7)，2元(2)，3元(1)，SMITHY(1)) > ((9+2+3)/13 X 5), ((9+2+3)/13 X 7) = 5.4, 7.54 > 買2元(1)+3元(1)
IV. 3回合 > 16張牌(1分(3)，1元(7)，2元(3)，3元(2)，SMITHY(1)) > 2 * ((14+2+3)/15 X 5), ((14+2+3)/15 X 7) = 2 * 6.33, 8.87 > 買3元(2)+6分(1)
V. 3回合 > 19張牌(1分(3)，6分(1)，1元(7)，2元(3)，3元(4)，SMITHY(1)) > 2 * ((19+3X2)/18 X 5), ((19+3X2)/18 X 7) = 2 * 6.94, 9.7 > 買3元(1)+6分(2)
VI. 4回合 > 22張牌(1分(3)，6分(3)，1元(7)，2元(3)，3元(5)，SMITHY(1)) > 3 * ((25+3)/21 X 5), ((25+3)/21 X 7) = 3 * 6.67, 9.33 > 買3分(2)+6分(2)

和"只買錢"比，結果好多了 - 在16回合內買了5張6分牌。

再來觀察起始回合2/5(元)分布的分析：
I. 2回合 > 10張牌{1VP(3), 1COIN(7)} > 2, 5 > 買1元(1)+SMITHY(1)
II. 2回合 > 12張牌{1VP(3), 1COIN(8), SMITHY(1)} > ((7+1)/11 X 5), ((7+1)/11 X 7) = 3.6, 5.1 > 買2元(2)
III. 2回合 > 14張牌{1VP(3), 1COIN(8), 2COIN(2), SMITHY(1)} > ((8+2X2)/13 X 5), ((8+2X2)/13 X 7) = 4.6, 6.5 > 買2元(1)+3元(1)
IV. 3回合 > 16張牌{1VP(3), 1COIN(8), 2COIN(3), 3COIN(1), SMITHY(1)} > 2 * ((12+2+3)/15 X 5), ((12+2+3)/15 X 7) = 2 * 5.67, 7.9 > 買3元(2)+6分(1)
V. 3回合 > 19張牌{1VP(3), 6VP(1), 1COIN(8), 2COIN(3), 3COIN(3), SMITHY(1)} > 2 * ((17+3X2)/18 X 5), ((17+3X2)/18 X 7) = 2 * 6.4, 8.94 > 買3元(2)+6分(1)
VI. 4回合 > 22張牌{1VP(3), 6VP(2), 1COIN(8), 2COIN(3), 3COIN(5), SMITHY(1)} > 3 * ((23+3X2)/21 X 5), ((23+3X2)/21 X 7) = 3 * 6.9, 9.67 > 買3分(2)+6分(2)

2/5起始比起3/4起始稍微差些，但和"只買錢"比仍然比較好。

那麼除了第一階段，在後面階段再買一張SMITHY會不會比較好呢？我認為不會，因為沒有出現SMITHY的手牌期望值會降低，而兩張SMITHY出現在同一手牌中的機率即使是18張牌的牌堆仍高達約1/2，此時有一張SMITHY是完全浪費，不能打出來的。

2. MILITIA

MILITIA這張牌很容易分析，就把它當成2元來用就是了，而且還有攻擊效果。但總是不買2元而改買MILITIA好不好呢？當然不好，因為要考慮到，2元不管抽到幾張，都是可以拿來用的，抽到2張MILITIA時卻只能打一張，另外一張只能作廢。所以較建議的是，第一階段買1張，增加攻擊次數；第三階段因為牌多了，可以再買一張，因為牌較多，兩張一起出現的機會較小。從第四階段開始就別再買了，因為那時應該不是買3元就是買分了。

和"只買錢"相比，MILITIA的結果差不多，就看對手被干擾的情形而定，相對結果應該也只算稍好。

3. MOAT

因為買MOAT的花費是2元，所以若是買MOAT的時機最好是起始回合是2/5分布時，分析如下：
I. 2回合 > 10張牌(1分(3)，1元(7)) > 2, 5 > 買2元(1)+MOAT(1)
II. 2回合 > 12張牌(1分(3)，1元(7)，2元(1)，MOAT(1)) > ((7+2)/11 X 5), ((7+2)/11 X 6) = 4.1, 4.9 > 買2元(2)
III. 2回合 > 14張牌(1分(3)，1元(7)，2元(3)，MOAT(1)) > ((9+2X2)/13 X 5), ((9+2X2)/13 X 6) = 5, 6 > 買2元(1)+3元(1)
IV. 3回合 > 16張牌(1分(3)，1元(7)，2元(4)，3元(1)，MOAT(1)) > 2 * ((13+2+3)/15 X 5), ((13+2+3)/15 X 6) = 2 * 6, 7.2 > 買3元(2)+6分(1)
V. 3回合 > 19張牌(1分(3)，6分(1)，1元(7)，2元(4)，3元(3)，MOAT(1)) > 2 * ((18+3X2)/18 X 5), ((18+3X2)/18 X 6) = 2 * 6.67, 8 > 買3元(2)+6分(1)
VI. 4回合 > 22張牌(1分(3)，6分(2)，1元(7)，2元(4)，3元(5)，MOAT(1)) > 3 * ((24+3X2)/21 X 5), ((24+3X2)/21 X 6) = 3 * 7.14, 8.57 > 買3分(2)+6分(2)

和SMITHY相比，MOAT在第四階段能夠買到6分時可能比較慢，但是MOAT多提供了防止手牌被攻擊的能力。如果其他玩家買攻擊牌，而且你的起始回合是2/5分布，買MOAT就是個好選擇，至少會比"只買錢"來得好。

那麼，如果起始回合是3/4分布，買MOAT是好的策略嗎？我覺得買SMITHY會比較好，但是，這還是要看其他因素以及MOAT遇到其他玩家的攻擊牌的機率多少而定，在四人遊戲而且其他玩家都買了攻擊牌時，買MOAT就會是個好的選擇。

4. WITCH

WITCH是花費5元的牌，比較可能是第3或第4階段買，底下是在第三階段買WITCH的分析：
I. 2回合 > 10張牌{1VP(3), 1COIN(7)} > 3, 4 > 買2COIN(2)
II. 2回合 > 12張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(2)} > 2 * ((7+2X2)/12 X 5) = 2 * 4.6 > 買2COIN(2)
III. 3回合 > 14張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(4)} > 3 * ((11+2X2)/14 X 5) = 3 * 5.36 > 買2COIN(2)+WITCH(1)
IV. 3回合 > 17張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(6), WITCH(1)} > 2 * ((15+2X2)/16 X 5) + ((15+2X2)/16 X 6) = 2 * 5.94 + 7.1 > 買2COIN(1)+3COIN(2)
V. 4回合 > 20張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(7), 3COIN(2), WITCH(1)} > 3 * ((19+2+3X2)/19 X 5) + ((19+2+3X2)/19 X 6) = 3 * 7.1 + 8.53 > 買3COIN(2)+6VP(2)
VI. 3回合 > 24張牌{1VP(3), 6VP(2), 1COIN(7), 2COIN(7), 3COIN(4), WITCH(1)} > 2 * ((27+3X2)/23 X 5) + ((27+3X2)/23 X 6) = 2 * 7.2 + 8.6 > 買3VP(1)+6VP(2)

就分析看來，和"只買錢"比較起來，既使考慮攻擊所造成的影響，也並沒有很大的差異。

5. CELLAR

CELLAR的功能不容易分析，我們先不管 +1 Action，因為要配合其他王國卡，並且在同一手牌中才能發揮作用。

先看它可以棄牌(discard)任意張牌，再重抽相同張數牌這個功能。我們假設會被棄的牌是剛開始是分數牌，越到遊戲後期1元也會被棄，因為換到2元或3元的機率越來越高，但若是錢夠買6分或接近8元，也可以減少棄牌重抽的張數，因此它具有調節功能。另外CELLAR也有加速牌堆重洗的作用，也會稍微提高後期手牌的期望值。但是以可用的手牌數來看，CELLAR的最大值是4張牌，比起MOAT(6張牌)和SMITHY(7張牌)的期望值會來得低一些。

我們試著以起始回合2/5分布來分析：
I. 2回合 > 10張牌{1VP(3), 1COIN(7)} > 2, 5 > 買2COIN(1)+CELLAR(1)
II. 2回合 > 12張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(1), CELLAR(1)} > ((7+2)/11 X 5), ((7+2)/8 X 4) = 4.1, 4.5 > 買2COIN(2)
III. 2回合 > 14張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(3), CELLAR(1)} > ((9+2X2)/13 X 5), ((9+2X2)/10 X 4) = 5, 5.2 > 買2COIN(2)
IV. 3回合 > 16張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(5), CELLAR(1)} > 2 * ((13+2X2)/15 X 5), ((13+2X2)/12 X 4) = 2 * 5.67, 5.67 > 買2COIN(1)+3COIN(2)
V. 3回合 > 19張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(6), 3COIN(2), CELLAR(1)} > 2 * ((17+2+3X2)/18 X 5), ((15+2+3X2)/13 X 4) = 2 * 6.94, 7.1 > 買3COIN(2)+6VP(1)
VI. 4回合 > 22張牌{1VP(3), 6VP(1), 1COIN(7), 2COIN(6), 3COIN(4), CELLAR(1)} > 3 * ((25+3X2)/21 X 5), ((25+3X2)/15 X 4) = 3 * 7.4, 8.3 > 買3VP(1)+6VP(2)

從分析看來，如果起始回合是2/5分布的話，買MOAT的結果會比CELLAR來得好。

6. LABORATORY

這是起始回合3/4分布的分析，因為LABORATORY的"+1 ACTION"的功能，讓它不怕買多張後撞在一起的問題：
I. 2回合 > 10張牌{1VP(3), 1COIN(7)} > 3, 4 > 買2COIN(2)
II. 2 turns > 12 cards {1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(2)} > 2 * ((7+2X2)/12 X 5) = 2 * 4.6 > 買2COIN(1)+LABORATORY(1)
III. 2回合 > 14張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(3), LABORATORY(1)} > ((11+2)/13 X 5) + ((11+2)/13 X 6) = 5 + 6 > 買3COIN(1)+LABORATORY(1)
IV. 2回合 > 16 cards {1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(3), 3COIN(1), LABORATORY(2)} > 0.5 * {2 * ((13+3)/14 X 6)} + 0.5 * {((13+3)/14 X 5) + ((13+3)/14 X 7)} = 0.5 * {2 * 6.86} + 0.5 * {5.7 + 8} > 買3COIN(1)+LABORATORY(1)
V. 3回合 > 18張牌{1VP(3), 1COIN(7), 2COIN(3), 3COIN(2), LABORATORY(3)} > 0.14 * {3 * ((16+3)/15 X 6)} + 0.57 * {((16+3)/15 X 5) + ((16+3)/15 X 6) + ((16+3)/15 X 7)} + 0.29 * {2 * ((16+3)/15 X 5) + ((16+3)/15 X 8)} = 0.14 * {3 * 7.6} + 0.57 * {6.33 + 7.6 + 8.87} + 0.29 * {2 * 6.33 + 10.1} > 買LABORATORY(1)+6VP(2)
VI. 3回合 > 21張牌{1VP(3), 6VP(2), 1COIN(7), 2COIN(3), 3COIN(2), LABORATORY(4)} > 0.7 * {(19/17 X 5) + (19/17 X 6) + (19/17 X 8)} + 0.15 * {(19/17 X5) + 2 * (19/17 X 7)} + 0.125 * {2 * (19/17 X 6) + (19/17 X 7)} = 0.7 * {5.6 + 6.7 + 8.9} + 0.15 * {5.6 + 2 * 7.8} + 0.125 * {2 * 6.7 + 7.8} > 買LABORATORY(1)+6VP(2)
VII. 3回合 > 24張牌{1VP(3), 6VP(4), 1COIN(7), 2COIN(3), 3COIN(2), LABORATORY(5)} > 0.7 * {((19/19 X 5) + (19/19 X 7) + (19/19 X 8)} + ~ = 0.7 * {5 + 7 + 8} + ~ > 買3VP(1)+6VP(2)

結果明顯比"只買錢"好很多。
上面分析中，隱藏了計算多張LABORATORY在同一手牌出現的機率，讓讀者看結果時不致混淆。其計算方法有些複雜，但基本上有排列組合觀念就能算出來。

[附註：LABORATORY機率算法提示]
假設：25張牌組成的牌堆中有5張LABORATORY，其餘為分數牌或錢幣。
則此牌堆總共3個回合會抽完，因為3個回合基本上會抽15張牌，加上5張LABORATORY會多抽的10張牌，正好抽完25張牌。
那麼我們舉個例子來算機率：1個回合都沒有LABORATORY，1個回合有兩張LABORATORY，1個回合有三張LABORATORY，這三種回合可以以任意順序出現，而出現多張LABORATORY的回合，開始抽出的5張牌裡面，則至少會含1張LABORATORY，第二張LABORATORY則會出現在最初的5張牌中或是因打出第一張LABORATORY而多抽的2張牌中，依此類推。
想像一疊25牌堆中，由上到下每張牌從1到25編號，所有排列中，5張LABORATORY出現的位置的不同排列有 (25 X 24 X 23 X 22 X 21) 種，這是總共會有的樣本數。
1. 因為有三種不同的回合，其排列方式有6種。
2. 5張LABORATORY取3張的組合方式有 C5取3 = (5 X 4 X 3) / (3 X 2) = 10 種。
3. 3張LABORATORY在同1回合出現的排列方式有 ((5 X 6 X 7) X 6) 種。
4. 2張LABORATORY在同1回合出現的排列方式有 ((5 X 6) X 2) 種。
所以3-2-0(代表LABORATORY張數的分布)的樣本數有 1. X 2. X 3. X 4.，所得除以總樣本數即得其出現的機率。

[結論]

以上提出的是一種對於Dominion策略定量分析的方法，此方法以每次洗牌為一個階段，計算每一階段手牌所能花費價錢的期望值，以能夠買到6分張數的期望值來評定策略的優劣，並隨時和具有一定參考價值的"只買錢"策略做比較，讓讀者能在遊戲中以"只買錢"策略為基礎，迅速評估、變化出新的策略，並獲致比"只買錢"更加優化的結果。

最後，有幾點提醒大家：
1. 期望值畢竟還是機率，只是接近期望值的結果會有較大的機會發生，加上計算過程中所做的假設和簡化，實際個案必定和理論有所出入，宜照實際情形依經驗或重新分析以因應遊戲過程中的變化。
2. 本文提出的例子，或受限計算的複雜程度，或因避免文章冗長，或因敝人才智有限尚未想到，僅限於簡單的組合，很有可能還有較複雜但威力更強的方法在本文未提及，讀者可自行嘗試分析。
3. 何時買，買哪一張，什麼情況下買，王國卡的組成如何，對手買什麼牌...等，都是影響遊戲策略的變數。

[末了的話]

從這些分析中，讓我從geek的角度來看待這個遊戲的策略，而不只從casual gamer的角度玩這個遊戲。但因此也發現，這個遊戲基本的步調相當快速，大部分基本而且有效的策略，從頭到尾可能只有20個回合左右，而這20個回合中可能買的王國卡只有3~5張，即使將來擴充有更多的牌，可以想見其功能愈強反而愈縮短決勝的回合數。因此我覺得，Dominion和傳統CCG相比，缺少玩家彼此攻殺、防禦的過程，也缺乏和背景主題相符的故事和戰鬥過程，而這些是我想要從這遊戲得到的。所以我已經賣掉我的Dominion，也決定不買任何擴充，把錢省下來買FFG(Fantasy Flight Games，我目前最喜歡的桌上遊戲出版社)的幾個LCG系列，對我來說更能滿足我。

當然，Dominion要改變這個狀況並非不可能，但首先必須先拿掉拿錢買分這條路，否則回合數受限於此，總有個20回合左右的上限。只是遊戲節奏一但拖長，又會洗牌洗到沒力，起始回合可能也要配合，改成每個玩家先發一定金額錢幣用來買卡，再開始進行遊戲，如此既減少初期洗牌次數，又可讓遊戲節奏加快。無論如何，我相信將來可以看到這個遊戲持續進化，喜歡它的人也會持續增加。